L'analyse en composantes principales est un algorithme de réduction de dimensions.
Il s'agit d'une technique linéaire permettant de projeter des données X de dimension d en d'autres données t de dimension p<d. ="" approximer="" as:669402626265091@1536609431065="" avec="" axes="" d="" de="" de:="" des="" dimension="" dimensions="" données="" données.="" elle="" en="" entre="" est="" fig1="" figure="" individdus="" l'acp="" l'idée="" la="" le="" les="" liaisons="" linéaire="" nombre="" nuage="" on="" ou="" p="2" p<="" par="" permet="" peut="" point="" principe="" prjection="" projeter="" présentant="" publication="" réduire="" sa="" sur="" un="" variabilité="" variables="" variance="" visualiser="" www.researchgate.net="" x="" étudier="">d.
L'ACP minimise la variance des points projetés.
On cherche à réaliser une projection \(x € R^d -> t € R^p\), p<d. ##="" <="" acp="" avec="" coude="" coude.="" critère="" de="" div="" du="" kaiser="" l'espace="" la="" le="" linéaire="" modèle="" méthode="" non="" p="" peut="" projection="" technique="" un="" évaluation="" évaluée="" être="">
Il s'agit d'une technique linéaire permettant de projeter des données X de dimenson p en d'autres données T de dimmension d < p. Objectifs * Visualiser les données * Étudier les liens de corrélation linéaire entre les variables * Réduire le nombre de dimensions
L'idée de l'ACP est de projeter les données sur des axes préservant la variance des données. Avec p=2 ou p=3, on peut visualiser ls données. Principe : approximer un nuage de points X de dimension p par sa projection linéaire en dimension d < p. L'ACP maximise la variance des points projectés.
On cherche à réaliser la projection x app Rp-->Rd, d<p L'espace de projection P inclus dans Rd sera construit de manière progressive. * D'abord on va chercher le meilleur axe de projection (1D) u1 * Ensuite le meilleur plan en trouvant le deuxième axe u2 * Et ainsi de suite jusqu'à obtenir P </p
Le jeu de donnés contient des donnés récuellies sur les pays pour l'année 2015, il comporte 158 lignes et 12 colonnes. Nous travaillerons avec les 8 dernières colonnes soit p=8 et la colonne Region pour évaluer notre ACP.
import pandas as pd dt = pd.read_csv('datasets/counties-happiness-2015.csv') dt.head()
X = dt.drop(['Country', 'Region', 'Happiness Rank', 'Standard Error'], axis=1) X.head()
from sklearn.preprocessing import LabelEncoder encoder = LabelEncoder().fit(dt['Region']) labels = encoder.transform(dt['Region'])
encoder.classes_
array(['Australia and New Zealand', 'Central and Eastern Europe', 'Eastern Asia', 'Latin America and Caribbean', 'Middle East and Northern Africa', 'North America', 'Southeastern Asia', 'Southern Asia', 'Sub-Saharan Africa', 'Western Europe'], dtype=object)
from sklearn.preprocessing import StandardScaler scaler = StandardScaler().fit(X) X_scaled = scaler.transform(X)
n_comp = 3
from sklearn.decomposition import PCA pca = PCA(n_components=n_comp) pca.fit(X_scaled) X_projected = pca.transform(X_scaled)
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt scree = pca.explained_variance_ratio_ * 100 plt.bar(np.arange(len(scree))+1, scree) plt.plot(np.arange(len(scree))+1, scree.cumsum(), c="red", marker='o') plt.xlabel("rang de l'axe d'inertie") plt.ylabel("pourcentage d'inertie") plt.title("Eboulis des valeurs propres") plt.show()
Le premier axe conserve 41,2% le deuxième axe 19,4% et le troisème axe 14,3%. Les trois axes permettent de conserver environ 75% de variance des données. Si l'on souhaite conserver plus de variance, on peut ajouter un axe supplémentaire ou plus. Remarquons qu'il est peu pertinent de conserver toute la variance, autant travailler avec les données initiales, il ne faut pas perdre de vue que l'un des objectifs de l'ACP, c'est la réduction du nombre de dimensions.
fig = plt.figure(figsize=(16, 4)) fig.add_subplot(1, 3, 1) plt.scatter(X_projected[:, 0], X_projected[:, 1], c=labels) plt.title('Axe 1 vs Axe 2') fig.add_subplot(1, 3, 2) plt.scatter(X_projected[:, 1], X_projected[:, 2], c=labels) plt.title('Axe 2 vs Axe 3') fig.add_subplot(1, 3, 3) plt.scatter(X_projected[:, 0], X_projected[:, 2], c=labels) plt.title('Axe 1 vs Axe 3') plt.show()
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D fig = plt.figure(figsize=(8, 8)) ax = fig.gca(projection='3d') ax.scatter(X_projected[:, 0], X_projected[:, 1], X_projected[:, 2], c=labels) plt.show()
from utils.acp.functions import display_factorial_planes names = dt['Country'] display_factorial_planes(X_projected, n_comp, pca, [(0,1),(0,2),(1,2)], labels = np.array(names))
from utils.acp.functions import display_circles features = X.columns pcs = pca.components_ display_circles(pcs, n_comp, pca, [(0,1),(0,2),(1,2)], labels = np.array(features))
Plus un pays est généreux, plus il est corrompu